Savadhan's Blog


आपणही हे करू शकता ! U can do it !

आपणही हे करू शकता ! U can do it !
अनेकदा काही कारणामुळे झोप येईनाशी होते तेव्हा हा प्रयोग मी आजही करतो.अर्थात सगळ्यांनी हाच प्रयोग करावा असं मी म्हणणार नाही, पण ज्यांना अंकगणितात रस असेल त्यांनी जरूर करुन पहायला काहीही हरकत नाही. इतरांनी दुसरा एखादा मार्ग शोधावा.
मी मनातल्या मनात एक ते पंचवीस पर्यंतचे वर्ग म्हणत राहतो.मला वाटतं हे सगळ्यांना सहज जमत असावं. तरी माहितीसाठी म्हणून ते येथे देतो.[sqs of nos 1 to 25 learn by heart which generates great fun ! see how?]
1×1=1square=01, 2×2=2sq=04, 3×3=3sq=09, 4×4=4sq=16. 5×5=5sq=25, 6×6=6sq=36, 7×7=7sq=49, 8×8=8sq=64, 9×9=9sq=81, 10×10=10sq=100, 11×11=11sq=121, 12×12=12sq=144, 13×13=13sq=169, 14×14=196, 15×15=225, 16×16=256, 17×17=289, 18×18=324, 19×19=361,20×20=400, 21×21=441, 22×22=484, 23×23=529, 24×24=576, 25×25=625. [Try to remember all these squres of the nos 1 to 25 or 25 to 1 in any direction.]
वर एक ते पंचवीस पर्यंतच्या संख्यांचे वर्ग दिले असून त्यातील एकक आणि दशकाचे अंक ठळक दाखवले आहेत.ठळक अंक स्वतंत्रपणे आठवता आले पाहिजेत तसेच या सर्व वर्ग संख्या उलट-सुलट व आपल्याला जेव्हा गरज असेल तेव्हा आठवता येणं हे या खेळाचं मर्म आहे. लहानपणी माझ्या वडिलानी पावकी,निमकी, पाऊणकी, दीडकी शिकवली होती आणि ती पाठ करून घेतली होती. वडिलांना अडिचकी आणि औटकी पण येत असे.परवचा रोजच म्हणावा लागे.त्यामुळे त्याच धर्तीवर मी या संख्यांचे वर्ग तोंडपाठ केले.ती रीत पुढीलप्रमाणे.
बे दुणे चार,तिन त्रिक नऊ,चार चोक सोळा,पाचा पाचा पंचविस, साहीसाहीछत्तीस, सातीसाती एकोणपन्नास, आठीआठी चौसष्ठ, नवेनवे एक्याऐंशी,दाहीदाही शंभर,अक्रेअक्रे एकवीसाशे,बारंबारे चव्वेचाळाशे, तेरंतेरे एकोणसत्तराशे,चौदंचौदे शहान्नवाशे,पंधरंपंधरे पंचवीस दोन,सोळंसोळे छप्पन दोन,सतरंसत्रे एकोणनव्वद दोन, आठरंआठरे चोविस तीन,एकोणीस वर्गे एकसष्ट तीन,वीसवर्गे चारशे,एकविस वर्गे एक्केचाळीस चार,बावीस वर्गे चौरयाऐंशी चार,तेविसवर्गे एकोणतिस पाच,चौविस वर्गे शहाहत्तर पाच,पंचविस वर्गे पंचविस सहा. येथे आपण एकक.दशक स्थानचे अंक एकत्र वाचून शतक,सहस्र स्थानचे अंक एकत्र वाचतो हे ध्यानात घेणे महत्वाचे आहे.या पद्धतीचा आपल्याला मनातल्या मनात गणिती क्रिया करताना खूप उपयोग होतो.गणिताच्या अभ्यासकास यात विशेष असं काही जाणवणार नाही.वैदिक गणिताच्या अभ्यासकासही यात विशेष काही वाटणार नाही.
एकदा ही तयारी झाली की मग तुम्हाला शंभर पर्यंतच्या संख्याचे वर्ग अगदी सहजपणे भराभर मांडता येऊ शकतात किंवा सहज तोंडी आठवू शकता.इतकेच काय यापुढेही मोठमोठ्या संख्यांचे वर्ग आपण पुरेसा सराव झाला कि सांगू शकतो. कसे ते पहा.
“एक ते पंचविस आणि पंचविस ते एक” असे उलट-सुलट शंभरपर्यंयतच्या या वर्गसंख्या एकमेकाशी निगडित असतात हे पक्के ध्यानात घ्यावे.ठळक अंक तसेच ठेऊन उरलेल्या अंकावर मनात प्रक्रिया करून थेट उत्तर मांडावयास शिकणे किंवा सांगायला शिकणे महत्वाचे आहे. अशा आकडेमोडीच्या सरावामुळे मेंदू तरतरीत राहून तो कार्यक्षम होतो,स्मरणशक्तीत वाढ होण्यास मदत होते, असं माझे वडील मला सांगत असत.
आता 26×26=676 शहात्तर सहा म्हणजेच सहाशे शहात्तर.मनातल्या मनात पंचविस अन् एक सव्विस आणि पंचविस वजा एक चोविस ध्यानात घेऊन, चोविस वर्गे “शहात्तर पाच” पैकी पाच मध्ये एक मिळवून सहा येतील, मग म्हणा सव्विस वर्गे–>शहात्तर सहा.
मनांतील हि क्रिया कशी घडते ते [english]आकडे मांडून पाहूया–[
1] 26sq–>[25+1]–>[25-1]=24—>24sq “शहात्तर पाच”,यातील [5+1]=6, मनात म्हणा”शहात्तर सहा”,
26sq–>6 76.
2] 27sq–>25+2–>25-2=23sq “एकोणतिस पाच”यातील 5+2=7,मनात म्हणा “एकोणतिस सात”
27sq–>7 29.
3] 28sq–>25+3–>25-3–>22–>22sq–>चौरयाऐंशी चार,–>4+3–>7,–>मनात चौरयाऐंशी सात,
28sq–>7 84
4] 29sq–>25+4–>25-4–>21–.21sq–> [ ]4–>4+4–>8–>मनात 8 [ 41 ],29sq—>8 41
5] 31sq–>25+6–>25-6–>19,19sq–>[ ] 3–>3+6–>9–मनात 9[61]= 9 61
6] 32sq–>25+7–>25-7–>18sq–>[ ]3–>3+7–>10–मनात10[24]= 10 24
7] 33sq–>25–>8–>17–>[ ]2–>2+8–>10[ 89]—मनात10 89
8] 34sq–>25–9–>16–>[ ]2–>2+9–11[56]–मनात 11 56
9] 35sq–>25–10–>15–>[ ]–2+10–मनात 12 25
याप्रमाणे आपण पन्नास पर्यंतच्या संख्याचे वर्ग सहज करू शकतो.येथे पंचविस ही संख्या पायाभूत संख्या समजलेली आहे.५०ते१०० पर्यंतच्या संख्यांचे वर्ग थोडासा बदल करुन अगदी सहज तोंडी करता येतात.४० ते ७५ या संख्यांचे वर्ग करताना ५० या संख्येचा उपयोग करुन वर्ग करणे सोपे जाते.पण यास बराच सराव करावा लागतो.
उदा-४१वर्ग–>२५ अन् सोळा=४१,मनात धरा १६. आता ४१अन् नऊ=५०,मनात ९चा वर्ग८१धरा.४१चा वर्ग=१६ ८१.
४६वर्ग–>२५अन् २१=४६,मनात धरा २१,आता ४६अन् ४=५०,मनात ४चा वर्ग १६ धरा,४६चा वर्ग=२१ १६.
४९वर्ग—>२५अन् २४=४९,मनात धरा २४,आता ४९अन् १=५०,मनात १चा वर्ग ०१धरा,४९चा वर्ग=२४ ०१.
५४ वर्ग–>२५अन् २९=५४,मनात धरा २९, आता ५४ अन्(-४)=५०,मनात(-४)चा वर्ग धरा१६,५४वर्ग=२९ १६.
५५ वर्ग–>२५+३०=५५, मनात धरा ३०,आता मनात (-५)चा वर्ग २५ धरा, ५५वर्ग=३० २५.
५९ वर्ग—>२५+३४=५९,मनात धरा३४,आता मनात नऊचा वर्ग८१. ५९वर्ग=३४ ८१.
६४वर्ग—>२५+३९=६४,मनात धरा ३९,आता मनात १४चावर्ग १ ९६, ६४वर्ग=(३९+१) ९६ =४० ९६.
६९वर्ग–>२५+४४=६९, मनात धरा ४४,आता मनात १९चा वर्ग ३ ६१, ६९वर्ग=(४४+३) ६१ =४७ ६१.
७२वर्ग—>२५+४७=७२,मनात धरा ४७,आता मनात २२चा वर्ग ४ ८४, ७२वर्ग=(४७+४) ८४ =५१ ८४
वरील वर्ग संख्यांचे निरीक्षण केले तर आपल्या ध्यानात येईल कि १ ते २५ या वर्ग संख्यांचे ठळकपणे दाखवलेले एकक आणि दशक स्थानचे अंक पुन्हा पुन्हा उलट-सुलट त्याच क्रमाने येत असतात.जरा निरिक्षण करुन तर पहा.७६ते१०० पर्यंत च्या संख्यांचे वर्ग करुन पहा. काय अडचण येते आणि त्यावर आपण कशी मात करू शकतो ते शोधा. कॅलक्युलेटरमुळे आता सगळच सोपं झालं पण त्यामुळे मॆंदूला काम उरले नाही,त्यामुळे तो तरतरीत ठेवण्याचे इतर मार्ग आपण शोधायला नकोत का?
याप्रमाणे दोन अंकी संख्यांचे वर्ग अगदी सहजपणे आपण करू शकतो. माध्यमिक शाळेतील आपल्या मुलामुलीना हे शिकवताना मस्त मजा येते.त्यांना गणितात रस वाटू लागतो. गणिताची भिती नाहिशी होते हा माझा अनुभव आहे.

Advertisements
आपणही हे करू शकता ! U can do it ! वर टिप्पण्या बंद

शून्यवाद आणि संत ज्ञानेश्वरांचा चैतन्यवाद !

शून्यवाद आणि  संत ज्ञानेश्वरांचा चैतन्यवाद !
वेदांताचा पुरस्कार करणारे अनेकजण आहेत. त्यात काही वैज्ञानिक पण आहेत. भौतिक वैज्ञानिक वेदांताचा पुरस्कार करतात तेव्हा त्याना काय म्हणायचं असतं ? सर्व तत्त्वं अवास्तव अस्थिर आहेत. या अवास्तव अस्थिर तत्त्वांचा आधार चेतना आहे, चैतन्य आहे.हे चैतन्य किंवा चेतना यामागे ओतप्रोत हे तत्त्व सर्वत्र भरून राहिले आहे. ओतप्रोत म्हणजेच उर्जा तत्त्व.”ओतप्रोत” हाच त्या चैतन्याचा आधार ! मात्र काहीजण “काहीच वास्तव नाही” असं समजतात.हे अवकाश अस्थिर आहे, स्पंदनशील आहे, असही म्हंटल जात असे. ’अवास्तव अस्थिर तत्त्व” आणि ’काहीच वास्तव नाही” व ”अवकाश अस्थिर” म्हणजे काय ? हे सर्व एकच ना ? —–???
जॉन लेनन नावाचा एक वैज्ञानिक १९४०ते १९८० या दरम्यान होऊन गेला.तो म्हणतो ” या विश्वात आणि त्यातील वस्तूजातामध्ये काहीही जास्त असत नाही किंवा काहीही कमी पण असत नाही. या अस्थिर अवकाशातील रिक्ततेमधून क्षणभरासाठी कणांची निर्मिति होऊन परत त्यातच ते कण विलीन होतात. महास्फोटाच्या आगीच्या गोळ्यातून या विश्वाची निर्मिती होते, ते क्षणभरासाठी प्रसरण पावते, पुन्हा संकोच पावते आणि त्या अग्निगोळ्यातच ते विलीन होते. यालाच अवकाशाचे अस्थैर्य किंवा रिक्ततेचं स्पंदन असं म्हणतात
आता हे अवकाश म्हणजे रिक्तता होय. मग रिक्तता म्हणजे निव्वळ पोकळी समजायची का? तर नाही. ती निव्वळ पोकळी नसते तर ती असते ओतप्रोतयुक्त रिक्तता, उर्जायुक्त अवकाश.चैतन्ययुक्त अवकाश ! चैतन्याचा सर्वत्र संचार आहे, असंच यातून जॉन लेनन याना सुचवायचं आहे.
संत ज्ञानेश्वर महाराजांनी ’चांगदेव पासष्टी’मध्ये स्पष्टपणे नमूद केले आहे की सर्वत्र उर्जा हीच चैतन्य रुपात भरून राहिली आहे.ते म्हणतात –”जो लपोनी जगदाभासू । दावी मग ग्रासू । प्रगटला करी ॥ प्रगटे तंव तंव न दिसे । लपे तंव तंव आभासे । खोमत जो। —-” हे चैतन्य अनेकविध रुपे धारण करते न करते तोच ते नाही असे होते.ते चैतन्य ’अवघे’ आहे, असं अत्यंत मार्मिक शब्दात माऊली त्याचा उल्लेख करतात.
१९७१ साली जॉन ग्रीबनने विश्वाच्या निर्मितीबाबतची “महास्फोटाच्या आगीच्या गोळ्यातून उत्पत्ती,त्याचे प्रसरण आणि पुन्हा त्या अवकाशात त्याचा लय” ही संकल्पना मांडली आणि १९७३ साली एडवर्ड ट्रॉयॉनने उचलून धरली आणि तिला “Bigbang as Vaccum Fluctuataion” म्हणून प्रसिद्धी दिली.
सामान्यतः गौतम बुद्धाचा ’शून्यवाद’ आणि पुंजभौतिकीतील अवकाश किंवा रिक्तता एकच होत असे समजले जाते. या विलक्षण विश्वातील सर्व काही ’अनित्य’ आणि “अनात्म” आहे. या ’अनित्य’ विश्वामागे एकमेव तत्त्व आहे ते अनंत,नित्य,चिरस्थायी असे “आत्मतत्त्व” होय असे अद्वैत वेदांत सांगतो.गीतेत[अ.१३-३१] ”अनादित्त्वात् निर्गुणत्वात् परमात्माsयमव्ययः।” असं म्हटलं आहे. आत्मा निर्गुण,अनंत,ज्ञानघन आहे असे गीता सांगते.मात्र बुद्धवाद हे मान्य करत नाही. सर्व अनित्य आहे, क्षणिक आहे असच ते सांगतात.ते ’एक’ नेहमीच ’अनेकत्वात’ व्यक्त होत असते. अनेकाशिवाय ते ’एक’ कधी नसतेच असं बुद्धवादी समजतात.
काहीही म्हणा ” चैतन्यरुपात उर्जा आहे ती अनंत आहे,नित्य आहे वा अनित्य आहे !!! मला काही ही कळत नाही, बरंच काही कळत आहे, बरंच काही कळत नाही !!! हेच सत्य़ ! हेच सत्य़ !!

प्रकाशाचा वेग म्हणजेच आत्म्याची सद्गती !

प्रकाशाचा वेग म्हणजेच  वेदांतातील आत्म्याची सद्गती !
१९०५ मध्ये आइन्स्टाईनने त्याचा सिद्धांत जगासमोर मांडला. त्यात त्याने सात तत्त्वांचा उहापोह केला. १) अवकाश व २)समय हे दोन्ही सापेक्ष आहेत. ३)अवकाश त्रिमित नाही. ४) भूत-वर्त-भविष्यकाळातून वेळ एकाच दिशेत वाहात नाही. ५) अवकाश व काळ हे एकमेकाशी अत्यंत किचकटपणे संबंधीत असून ते चतुर्मित अवकाश-काल’ व्यक्त करते ७)वस्तुमान हे उर्जेचे रुप आहे. या तत्त्वांच्या आकलनासाठी त्याने काही गणिती समीकरणे मांडली.त्यात त्याने (अ) वेगाचा वस्तुमानावर परीणाम-जेव्हा निरीक्षकासापेक्ष वस्तु गतिमान असते तेव्हा गतिमान वस्तुचा वेग जसा वाढत जातो तसे त्या वस्तुचे वस्तुमान पण वाढत जाते.मात्र त्या वस्तुस वस्तुमान वाढीची जाणिव नसते. (ब)वेगाचा दृग्गोचरतेवर परीणाम-जेव्हा निरीक्षकासापेक्ष वस्तु गतिमान असते तेव्हा तिच्या वेगाच्या दिशेत ती वस्तु संकोच पावत असल्याचे निरीक्षकास दिसते.मात्र प्रत्यक्ष वस्तुस तिच्या वस्तुमानातील संकोचन जाणवत नाही.(क) वेगाचा कालावर परीणाम-गतिचा परीणाम म्हणून काळ व्यक्त होतो असे आइन्स्टाइनचे म्हणणे होते. वस्तुचा वेग जसा वाढेल तसे कालविस्तार पावल्याचे त्या निरीक्षकास दिसते.परंतु प्रत्यक्षात त्या वस्तुस कालविस्ताराचा अनुभव येत नाही. या तिन्हीच्या समर्थनार्थ त्याने तीन समीकरणे मांडली. जुळयांच्या प्रवासाच्या गोष्टीत या तिसर्याम तत्त्वाचा विचार केलेला आहे. त्यासाठीचे गणिती सूत्र समजून घेतले तर जुळ्यांची गोष्ट समजायला त्याची जास्त चांगली मदत होईल, अन्यथा हे काहीतरी गौडबंगाल आहे असेच वाटेल. वेगाचा कालावर परीणाम काढण्यासाठी आइन्स्टाइनने दिलेले सूत्र असे आहे. {सा=का वर्गमूळ [१-(व*व) / (प्र*प्र)] }. या सूत्रात सा=सापेक्ष काळ, का= पृथ्विवर लोटलेला काळ, व=वस्तुचा वेग, आणि प्र=प्रकाशाचा वेग असे गृहित धरलेले आहे. आता या ठिकाणी जेव्हा वस्तुचा वेग प्रकाशाच्या वेगाबरोबर होतो तेव्हा तेव्हा सापेक्ष काळ शून्य होतो. यावरून जेव्हा एखादी वस्तु किंवा व्यक्ति प्रकाश वेगाने प्रवास करेल तेव्हा ती अमर हॊईल,अविनाशी हॊईल, नित्य हॊईल.हिच ती अद्वैत वेदांतातील सद्गती होय. म्हणूनच मृत व्यक्तिच्या आत्म्यास सदगती लाभो ! अशी प्रार्थना हिंदू धर्मीय लोक करतात. इतकेच नव्हे तर मराठीत “थांबला तो संपला” अशी म्हण आहे. माझ्या मते “सतत गतिमान राहणेच श्रेयस्कर” हे जनमानसावर बिंबवण्यासाठीच ही म्हण पडली असावी. “मृतात्म्यास शांती लाभो” हे चक्क इंग्रजीतील “मे सोल रेस्ट इन पीस” चे भाषांतर जे हिंदू धर्मीय मृत व्यक्तीबाबत संबोधणे सर्वथा अयोग्य होय.पण जनसामान्यांना हे कोण सांगणार ?
आता आपण जुळ्याच्या प्रवासाकडे वळूया. एक जुळे समजा वयाच्या १० व्या वर्षी प्रवासास निघाले. एकाने पृथ्वीवर प्रवास करायचा आणि दुसर्यााने अवकाश यानाने अवकाशप्रवास करावयाचा असे ठरवले. समजा अवकाश यानाचा वेग जवळजवळ प्रकाशाच्या वेगाइतका म्हणजे त्याच्या ९०% इतका आहे. आता असे समजा कि पृथ्विवरील ६० वर्षे(का) इतका काळ लोटल्यावर अवकाशप्रवासी पृथ्वीवर आपल्या भावास भेटण्यासाठी परतला. पृथ्वीवरील त्याचा भाऊ नुकतीच त्याची तिशी पार केलेल्या अवकाशप्रवाशास पाहून अचंबित झाला.आपण सत्तरी पार केली तरी माझा जुळा भाऊ तीस-पस्तीसचाच कसा ? असा प्रश्न त्याला पडला असणार नाही का?
हे उदाहण “ट्विन पॅराडॉक्स” म्हणून प्रसिद्ध आहे. आता या उदाहरणात सा=सापेक्ष काळ किती असावा ते शोधावयाचे आहे. का=६० वर्षे हा पृथ्वीवर लोटलेला काळ  दिलेला आहे.वस्तुचा वेग प्रकाशाच्या वेगाच्या ९०/१०० दिलेला आहे. म्हणजेच व=०.९प्र. आता या किमती सा=६० वर्गंमूळ{१-[(०.९प्र) (०.९प्र)] / (प्र*प्र.) } या सूत्रात घातल्यास सा=[६० वर्गमूळ {१-०.८१}]=[६० वर्गमूळ{१९/१००}]=[६वर्गमूळ{१९}]=२६.१वर्षे इतका सापेक्ष काळ आला.अवकाश प्रवासास तो निघाला तेव्हा त्याचे वय १० वर्षे होते,त्यात सापेक्ष काळ मिळवून अवकाश प्रवाशाचे पृथ्वीवर परतल्यावर वय=१०+२६=३६ वर्षे इतके येते.म्हणजे पृथ्वीवाशी ७० वर्षाचा म्हातारा तर अवकाश प्रवासी ऐन तारूण्यात ३६ वर्षे वयाचा ! आहे का नाही विरोधाभास !
तर असा हा प्रकार आहे.वेगाचा कालावर हा असा परीणाम होतो आणि ते गणिताने असे सिद्ध होते.मला हे एवढेच समजले आहे. तसं हे सारं अनाकलनिय असेच आहे !